Ayuda es de Minimo Comun Multiplo y de Maximo Comun divisor 3. Halla el mínimo común múltiplo de los siguientes grupos de números: a. 13 y 30 b. 86, 64 y 20 c. 75, 45, 20 y 25 4. Calcular el mcm y mcd de los números 300 y 360.
The correct answer and explanation is:
Claro, aquí tienes las respuestas con explicaciones detalladas para cada caso.
1. Hallar el mínimo común múltiplo (MCM)
a. 13 y 30
- Factores primos de 13: 13 (es primo)
- Factores primos de 30: 2 × 3 × 5
Para calcular el MCM, se toman todos los factores primos, con su mayor exponente entre los números:
MCM = 2 × 3 × 5 × 13 = 390
b. 86, 64 y 20
- 86 = 2 × 43
- 64 = 2^6 (2 elevado a 6)
- 20 = 2^2 × 5
Para el MCM se toman todos los factores con el mayor exponente:
- Para el 2, el mayor exponente es 6 (de 64)
- También está el 43 (de 86)
- Y el 5 (de 20)
MCM = 2^6 × 43 × 5 = 64 × 43 × 5 = 64 × 215 = 13,760
c. 75, 45, 20 y 25
- 75 = 3 × 5^2
- 45 = 3^2 × 5
- 20 = 2^2 × 5
- 25 = 5^2
Para el MCM:
- Para el 2: mayor exponente es 2 (de 20)
- Para el 3: mayor exponente es 2 (de 45)
- Para el 5: mayor exponente es 2 (de 75 y 25)
MCM = 2^2 × 3^2 × 5^2 = 4 × 9 × 25 = 900
2. Calcular MCM y MCD de 300 y 360
- 300 = 2^2 × 3 × 5^2
- 360 = 2^3 × 3^2 × 5
Máximo común divisor (MCD): se toman los factores comunes con el menor exponente:
- 2^2 (porque 2^2 en 300 y 2^3 en 360, se toma 2^2)
- 3^1 (3 en 300 y 3^2 en 360, se toma 3^1)
- 5^1 (5^2 en 300 y 5^1 en 360, se toma 5^1)
MCD = 2^2 × 3 × 5 = 4 × 3 × 5 = 60
Mínimo común múltiplo (MCM): se toman todos los factores con el mayor exponente:
- 2^3 (mayor entre 2^2 y 2^3)
- 3^2 (mayor entre 3 y 3^2)
- 5^2 (mayor entre 5^2 y 5)
MCM = 2^3 × 3^2 × 5^2 = 8 × 9 × 25 = 1,800
Explicación adicional
El mínimo común múltiplo (MCM) de dos o más números es el número más pequeño que es múltiplo de todos ellos. Para encontrarlo se descomponen los números en factores primos y se toman todos los factores primos con el mayor exponente que aparezca en cualquiera de los números.
El máximo común divisor (MCD) es el número más grande que divide exactamente a todos los números dados. Se calcula tomando los factores primos comunes a todos los números con el menor exponente que aparezca.
Estos conceptos son importantes para simplificar fracciones, resolver problemas de divisibilidad y sincronización de eventos periódicos, entre otras aplicaciones matemáticas.
Si quieres, puedo ayudarte a hacer más ejercicios o explicarte el procedimiento paso a paso. ¿Quieres?